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An introduction to abstract algebra, by F. M. Hall

By F. M. Hall

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Uberlagerung Funktionenk~rpern zugeordnet. ist. ultrametrisch Definition abgeschlossene sind I in § 2 f : X ~ C eine e n d l i c h e ein a l g e b r a i s c h e r Funktionen- C. Funktionenk~rpers k trivial anderes X. Nach dem Satz insbesondere Den a l g e b r a i s c h e n sche Fl~che der K~rper nichtkonstante K~rpererweiterung, algebraisch I), so dab K/k(t) von K ist. Fl~che Riemannsche t 6 K gibt, Konstantenk6rper von H~lle ~ von k in K h e i s t der Im w e i t e r e n Die und Fl~che Element ist.

Der a r i t h m e t i s c h e n ~bertr~gt K(P(K/k)\S) H(~(K/k)\~) sich auf die Fundamentalgruppe Galoisgruppen in ein s e m i d i r e k - galo±sscher Zwischen- 43 k~rper N mit dem K o n s t a n t e n k ~ r p e r ~: Es seien K/k ein a u f ~ e s c h l o s s e n e r nenkSrper der C h a r a k t e r i s t i k von k und ~/~ ein 0ber K 9aloisscher Dann ist GaI(N/K) al~ebraischer O, ~ eine algebraisch ein semidirektes algebraischer Funktio- ab~eschlossene H~lle Funktionenk~rper. Produkt yon GaI(N/K), K := ~K, mit Gel (K/K) : GaI(N/K) Beweis: Es bezeichne die in ~/K verzweigt abgeschlossener GaI(M/K).

D 2: Es sei K ~ K ~ M der K ~ r p e r t u r m aus dem Satz I. Dann ist der F i x k ~ r p e r einer c h a r a k t e r i s t i s c h e n a b @ e s c h l o s s e n e n U n t e r ~ r u ~ p e der a l ~ e b r a i s c h e n F u n d a m e n t a l g r u p p e ~ = GaI(M/K) Beweis: ~ber K definiert. Eine c h a r a k t e r i s t i s c h e U n t e r g r u p p e ~ yon ~ ist g l e i c h z e i t i g ein N o r m a l t e i l e r der a r i t h m e t i s c h e n F u n d a m e n t a l g r u p p e H = GaI(M/K). Damit ergibt sich die F o l g e r u n g 2 u n m i t t e l b a r aus dem Satz 2(a).

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